季冻区草炭土非线性K-G模型试验研究

摘要

季冻区草炭土是沼泽环境中植物残体在氧化分解作用下，堆积形成的含有大量未分解纤维残体的特殊土。草炭土纤维及其含量对其强度和变形特性具有重要影响，目前考虑纤维含量对草炭土强度和变形特性影响的本构关系研究还相对匮乏。K-G本构模型因其模型参数与土的体积模量和剪切模量能建立直接联系，因此在岩土工程非线性理论和数值计算分析方面广泛应用。以不同纤维含量的草炭土为研究对象，进行三轴剪切试验，研究了草炭土的应力应变曲线，得到了草炭土非线性K-G模型参数，分析了各模型参数随纤维含量的变化规律，建立了模型参数与纤维含量之间的线性函数关系。对实际公路工程建设具有一定的指导意义。

关键词

季冻区草炭土; 纤维含量; 非线性K-G模型; 模型参数

0 引言

草炭土是沼泽环境中植物残体在氧化分解作用下，堆积形成的含有大量未分解纤维残体、腐殖质和矿物质，且形成年代在1万年以内的特殊土^［1-2］。草炭土在国内外均有广泛分布，如国外俄罗斯西伯利亚地区、加拿大中部Alberta和我国东北地区的大小兴安岭、川西地区的山脉、青藏高原和新疆部分山区等季冻区^［3］，具有高孔隙比、高纤维含量等特性，工程性质较差^［4］。近些年来，公路建设不可避免地会在草炭土地区展开^［5-6］。佴磊等学者^［7-10］通过野外调查和室内试验对草炭土的基本物理力学性质进行了分析，并总结了草炭土特殊的工程地质性质。这些研究在草炭土的基本力学性质方面取得了很大进展，但考虑纤维含量对草炭土强度和变形影响的本构关系研究相对匮乏。E-μ模型和K-G模型是常用的土体非线性弹性本构模型^［11］。相较于E-μ模型，K-G模型的参数物理意义明确，且易于测定 ^［12-13］。非线性弹性K-G模型是一种反映了土体在平均正应力p和广义剪应力q作用下的弹性性质的双模量本构模型。国内外许多学者对该模型进行了大量研究并提出多种修正模型。1975年Domaschuk和Valliappan ^［14］率先基于该模型来进行有限元计算，国内的曾以宁等^［15］、洪夏^［16］建立了成都科大K-G模型。在此基础上，一些学者^［17-19］考虑压硬性得到了双模量K-G模型；也有一些学者^［13，20-26］在考虑剪胀性的基础上建立了3模量K-G模型。文畅平^［13］和吴小锋等^［27］分别基于扰动状态理论和综合结构势提出了修正的K-G模型。本文拟采用等向固结和等p固结排水试验，在考虑纤维含量变化的基础上，建立草炭土Naylor修正非线性弹性K-G模型，并获得K-G模型参数与纤维含量的关系表达式。

1 K-G模型基本框架

非线性弹性K-G模型是基于广义Hooke定律建立^［28］，其体积变形模量K_t和切线剪切模量G_t与应变增量的关系式为：dp=K_tdε_v，dq=G_tdε_s。K_t和G_t表达式为

$$K_{\mathrm{t}}=K_{\mathrm{i}}+{\alpha }_{\mathrm{k}}p$$

(1)

$$G_{\mathrm{t}}=G_{\mathrm{i}}+{\alpha }_{\mathrm{G}}p+{\beta }_{\mathrm{G}}q$$

(2)

通过等向固结排水三轴试验可以对K_t进行求解^［29-31］。首先通过试验得到ε_v-p曲线，并通过坐标变换转化为ε_v-ln（p）关系曲线，曲线大致呈直线状，其斜率为k，在ε_v轴上的截距为ε_v0，于是ε_v-ln（p）直线可表示为：ε_v=ε_v0+kln（p），对其进行微分，可得：

$$K_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{\epsilon }_{\mathrm{v}}}=\frac{p}{k}$$

（3）

$${\epsilon }_{\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }_{\mathrm{k}}}\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+\frac{{\alpha }_{\mathrm{k}}}{K_{\mathrm{i}}}p)$$

（4）

Domaschuk和Valliappan ^［14］提出，在等向固结排水试验中，可将p-ε_v关系曲线拟合为：p=aε_v^k（式中a、k为试验常数）。因此，先根据试验结果拟合出函数表达式；再依据K=dp/dε_v，计算各数据点在幂函数上的斜率K值；最后绘制出K-p关系曲线，并通过直线拟合，求得截距K_i和斜率α_k。依此，分别计算不同纤维含量ω_f条件下的数据，即可得到相应的K_i和α_k值。

通过等p三轴剪切试验对G_t进行求解，在试验得到q-ε_s曲线的基础上，将3G_t视为该曲线的斜率，表示为

$$\mathrm{3}{G}_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}{\epsilon }_{\mathrm{s}}}$$

（5）

当G_t=0时土体破坏，摩尔-库仑极限平衡方程为q=n+mp。结合式（2）可得

$$G_{\mathrm{i}}=-n{\beta }_{\mathrm{G}}$$

（6）

$${\alpha }_{\mathrm{G}}=-m{\beta }_{\mathrm{G}}$$

（7）

$${\beta }_{\mathrm{G}}=\frac{G_{\mathrm{t}}}{q-n-mp}$$

（8）

对式（5）积分并根据式（2）或式（6）~（8），得到

$${\epsilon }_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{G}}}\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+\frac{{\beta }_{\mathrm{G}}}{G_{\mathrm{i}}+{\alpha }_{\mathrm{G}}p}q)$$

（9）

或

$${\epsilon }_{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{G}}}\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{n+mp}q)$$

（10）

Domaschuk、Valliappan ^［14］和Kondner^［32］指出，在等p三轴剪切试验中，可将q-ε_s关系曲线拟合为：q=ε_s/（a+bε_s）（式中a，b为试验常数）。G_i、α_G和β_G可以通过对平均正应力p和广义剪应力q使用摩尔-库仑准则计算得到。首先通过等p三轴固结排水剪切试验，得到不同等p条件下的q-ε_s曲线，根据q-ε_s曲线，确定不同等p条件下土体破坏状态时的q值，绘制出q-p关系曲线，并进行直线拟合，从而得到m、n的值。在此基础上依据式（10），分别计算不同p值条件下的β_G值，并取算数平均值，最后将β_G值代入式（6）~（7），即可计算出G_i和α_G。依此，得到不同纤维含量ω_f条件下的β_G、G_i和α_G。

2 试验材料与方法

2.1 试验材料

季冻区草炭土试验土样取自吉林省敦化市江源镇南侧，鹤大公路草炭土工程试验段，起止里程K1+30-K2+520，实景照片如图1所示。敦化市地处北半球中温带，气候类型为寒温带湿润大陆性季风气候，年平均气温和降雨量为2.6 ℃和519.3 mm，全年无霜期为119 d，属季冻区，最大冻土深度1.77 m。为了保持土样的原状性，采用具有固定活塞的薄壁取土器钻取，取样深度0~2.5 m，为地表下典型草炭土层。土样土质较疏松，孔隙较大，呈暗褐色，纤维呈团块状和絮状，所取土样基本物理指标如表1所示。依据《ASTM D1997-13》^［33］ 采用水洗法进行纤维含量的测定；依据《ASTM D2974-14》^［34］采用烧失量法进行有机质含量的测定。

图1 取样点

Fig.1 Sample location

表1 草炭土的主要物理指标

Table 1 Main physical indexes of the turfy soil samples

土样编号	取土深度/cm	含水率W/%	孔隙比e0	天然密度/（g·cm-3）	相对密度Gs	纤维含量ωf/%	有机质含量Wu/%
1	10~30	357.86	11.02	0.96	1.48	70.12	78.56
2	60~80	356.65	10.15	0.98	1.49	60.14	61.78
3	120~140	331.96	9.93	1.06	1.50	50.30	59.12
4	150~170	306.27	9.83	1.07	1.56	42.12	58.07
5	190~210	292.24	5.46	1.35	1.94	30.71	54.46
6	210~230	257.53	3.56	1.48	2.24	20.95	43.40

2.2 试验方法

依据标准^［35］制备纤维含量为20.95%、30.71%、42.12%、50.30%、60.14%和70.12%的三轴原状试样，部分土样见图2。试验采用TSZ-1型三轴仪对上述草炭土试样进行三轴剪切试验。

图2 试验土样

Fig.2 Soil samples

（1）在等向固结排水试验中，进行平行测定，在11级围压（50、75、100、125、150、175、200、250、300、350、400 kPa）下排水固结，固结完成以排水量稳定为标准，待试样固结完成后再开始下一级加载。

（2）在等p三轴固结排水剪切试验中，分别在100、200、300、400 kPa围压下进行固结剪切。剪切过程中保持p值不变。剪切速率0.015 mm/min，当应变超过20%时，试验终止。

3 试验结果与分析

3.1 ε_v-p曲线和ε_s-q曲线

通过等向固结排水试验，得到不同纤维含量下草炭土的体积应变ε_v随平均正应力p和纤维含量ω_f的变化关系曲线，如图3所示。ε_v和p关系符合模型的基本假定，呈幂函数关系。且土体的体积应变ε_v随p的增大呈现出非线性增长，即土体不断被压缩。在p不变的条件下，当草炭土中纤维含量增加时，体积应变ε_v随之增加。这是因为纤维和土颗粒间的孔隙随着纤维含量的增加而增多，这导致在受到外力时土体的抗压缩变形能力降低。

图3 ε_v-p关系

Fig.3 Relationship of ε_v-p

通过等p三轴固结排水剪切试验，得到不同纤维含量季冻区草炭土的剪切应变ε_s与广义剪应力q的关系曲线，见图4。q和ε_s关系符合模型的基本假定，呈双曲线函数关系。q-ε_s曲线在p值一定的条件下，偏应力q值随纤维含量的增加而增加，斜率逐渐变缓，呈非线性。这说明草炭土抗剪能力不断提高。这是因为纤维含量的增加，形成了天然的“加筋作用”，增强了土体的结构性，提高了土体的抗剪切能力。

图4 ε_s-q曲线

Fig.4 Relationship of ε_s-q

3.2 季冻区草炭土非线性K-G模型参数

对等向固结排水试验得到的ε_v-p曲线进行了p-ε_v曲线拟合，结果见表2，进而得到不同纤维含量下的K_i和α_k值。

表2 p-ε_v曲线拟合结果

Table 2 p-ε_v curve fitting results

纤维含量/%	p-εv	R2
20.95	P=0.0137εv3.8604	0.9565
30.71	P=0.0058εv4.1405	0.9817
42.12	P=0.0024εv4.4631	0.9756
50.30	P=0.0048εv4.1182	0.9764
60.14	P=0.0059εv3.9519	0.9760
70.12	P=0.0116εv3.5782	0.9394

根据q-ε_s曲线，并结合摩尔-库仑破坏理论，q=n+mp的拟合结果见表3。进而得到参数m、n数值，并由表中的m、n值计算β_G，并由β_G得到G_i和α_G，如表4所示。

表3 q=n+mp曲线拟合结果

Table 3 q=n+mp curve fitting results

纤维含量/%	q=n+mp	R2
20.95	q=3.54+0.868p	0.9976
30.71	q=4.83+0.935p	0.9977
42.12	q=8.34+0.938p	0.9985
50.30	q=14.56+0.949p	0.9987
60.14	q=16.18+0.983p	0.9984
70.12	q=17.13+1.015p	0.9982

表4 季冻区草炭土非线性K-G模型参数

Table 4 Nonlinear K-G model parameters of turfy soil in the seasonal frozen zone

模型 参数	纤维含量/%
	20.95	30.71	42.12	50.30	60.14	70.12
Ki/kPa	21.46	19.96	19.18	18.79	18.27	17.23
αk	0.244	0.225	0.206	0.197	0.185	0.132
m	0.868	0.935	0.938	0.949	0.983	1.015
n	3.54	4.83	8.34	14.56	16.18	17.13
βG	-4.51	-4.57	-4.58	-4.59	-4.62	-4.69
Gi/MPa	15.99	22.09	38.22	66.76	74.76	80.37
αG	3.92	4.28	4.30	4.36	4.54	4.76

3.3 参数随纤维含量的变化规律分析

根据上述分析可知：参数K_i和α_k反映了平均正应力p对切线体积模量K_t的影响，随着纤维含量的增加草炭土的K_t逐渐减小，ε_v则不断变大，这说明随着纤维含量的增加，草炭土的抗压缩变形能力降低。纤维含量对参数m和β_G影响较小，对参数n、G_i和α_G影响较大。参数n、G_i和α_G随纤维含量显著增大，因此，纤维含量的变化对草炭土的切线剪切模量影响显著。由于β_G＜0，根据式（2），切线剪切模量G_t随q增大而减小，但由于β_G值较小，qβ_G部分所占比例较小，因而q值对G_t的影响相对较小。这说明随着纤维含量的增加，草炭土的抗剪切能力增强。另一方面，在计算过程中表2和表3的曲线拟合度均较高，说明该Naylor K-G模型可以很好地描述草炭土的非线性应力-应变关系。

各模型参数随纤维含量ω_f的变化规律曲线如图5所示，拟合关系表达式见式（11）。各模型参数与纤维含量均呈现出较好的线性函数关系，拟合度较高。

图5 非线性K-G模型参数与纤维含量关系曲线

Fig.5 Curve of the parameters of the nonlinear K-G model vs fiber content

$$\left.\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{i}}=-\mathrm{7.797}{w}_{\mathrm{f}}+\mathrm{22.714}\\ {\alpha }_{\mathrm{k}}=-\mathrm{0.202}{w}_{\mathrm{f}}+\mathrm{0.2903}\\ m=\mathrm{0.0025}{w}_{\mathrm{f}}+\mathrm{0.8336}\\ n=\mathrm{0.3092}{w}_{\mathrm{f}}+\mathrm{3.1507}\\ {\beta }_{\mathrm{G}}=-\mathrm{0.0029}{w}_{\mathrm{f}}-\mathrm{4.4649}\\ G_{\mathrm{i}}=\mathrm{1.4533}{w}_{\mathrm{f}}+\mathrm{15.668}\\ {\alpha }_{\mathrm{G}}=\mathrm{0.0145}{w}_{\mathrm{f}}+\mathrm{3.7089}\end{array}\right\}$$

（11）

4 结论

（1）通过等向固结排水试验和等p三轴固结排水剪切试验获得ε_v-p曲线和ε_s-q曲线，两者均为应变硬化型曲线，ε_v-p曲线符合幂函数曲线特征，ε_s-q曲线符合双曲线特征。在此基础上，确定了草炭土Naylor K-G模型7个参数值（K_i、α_k、m、n、β_G、G_i和α_G），计算过程曲线拟合度较高，表明该Naylor K-G模型能较好地描述季冻区草炭土的非线性应力-应变关系。

（2）随着纤维含量的增加，草炭土切线体积模量K_t显著减小、切线剪切模量G_t显著增加，表明随着纤维含量的增加，季冻区草炭土的抗压缩变形能力降低，抗剪切能力增强。

（3）草炭土Naylor修正非线性弹性K-G模型的7个参数（K_i、α_k、m、n、β_G、G_i和α_G）和纤维含量ω_f之间呈现出较好的线性函数关系。

（4）在分析实际公路工程建设问题时，基于本文建立的季冻区草炭土非线性模型，只需在实际工程时用测得的季冻区草炭土的纤维含量就可以得到草炭土的模型参数，进而通过数值模拟分析计算不同纤维含量条件下季冻区草炭土的沉降变形，不仅可以保证工程的顺利进行，且模型形式简单、易于接受，对实际公路工程建设具有一定的指导意义。